💡開始前，先確認你懂這些！

📌 先備知識確認（開始前請確認你學過這些）

✅ 整式加減乘除
✅ 因式分解（提公因數、十字交乘）
✅ 平方根的概念 $\sqrt{\phantom{x}}$
✅ 一元一次方程式的解法
✅ 座標系與拋物線基本形狀

如果還不熟這些，建議先複習再繼續喔！💪

📖

什麼是一元二次方程式？

生活比喻 🎯：想像你幫一個長方形花圃算面積，已知長比寬多 3 公尺、面積 10 平方公尺。設寬為 $x$，列出 $x(x+3)=10$，展開後得 $x^2+3x-10=0$，這就是一元二次方程式！

📝 標準形式（一般式）：

一元二次方程式的標準形式

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$$

一元 = 只有一個未知數（通常用 $x$）。若有兩個未知數 $x$、$y$，就叫「二元」。

二次 = 未知數 $x$ 的最高次方是 2，含 $x^2$ 項。最高次是 1 → 一次，是 3 → 三次。

以 $2x^2 - 5x + 3 = 0$ 為例：
• $a = 2$（$x^2$ 的係數，不能為 0）
• $b = -5$（$x$ 的係數）
• $c = 3$（常數項）

$y = x^2 - x - 2$ 的拋物線

🔥暖身題 — 快速進入狀況！

W1

判斷哪些是一元二次方程式（可多選）

記住：必須是「一個未知數」且「最高次方是 2」才算，整理後形如 $ax^2+bx+c=0$。

W2

找出 $3x^2 - 7x + 2 = 0$ 的係數 a, b, c

把方程式對應 $ax^2+bx+c=0$，注意負號！

$a =$ ， $b =$ ， $c =$

🎯任務 1 — 因式分解法（拆拆看！）

T1

用因式分解法求解

核心：若 $A \times B = 0$，則 $A=0$ 或 $B=0$。
🌟 例：$x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x=2$ 或 $x=3$

求解 $x^2 + x - 6 = 0$，將它因式分解：$(x + \square)(x + \square) = 0$

$(x +$ $)(x +$ $) = 0$

💡 找兩個數：乘積為 $-6$，和為 $+1$

$(x+3)(x-2)=0$，令各括號等於 0：

第一個因式：$x +$ $= 0$ → $x =$

第二個因式：$x$ $= 0$ → $x =$

$x^2 + x - 6 = 0$ 的解

$$x = -3 \quad \text{或} \quad x = 2$$

🔍 驗算：$x=-3$：$9-3-6=0$ ✅ ｜ $x=2$：$4+2-6=0$ ✅

🏋️ 練習：因式分解解 $x^2 - 3x - 10 = 0$

$x =$ 或 $x =$

🔑任務 2 — 配方法（把醜式子變漂亮！）

T2

配方法求解

配方法（Completing the Square）：變成 $(x+p)^2=q$ 再開根號。
核心：$x^2+bx = (x+\tfrac{b}{2})^2 - (\tfrac{b}{2})^2$

求解 $x^2 + 6x + 5 = 0$，跟著步驟配方：

步驟	說明	你的答案
① 移常數到右邊	$x^2 + 6x = \;?$
② 兩邊加 $\left(\tfrac{6}{2}\right)^2=9$	$(x+3)^2 = \;?$
③ 開根號（$x+3=\pm\;?$）	根號下是多少？
④ 求解	$x = \;?$（兩個解）

🔮任務 3 — 公式法（萬能武器！）

T3

用求根公式求解

求根公式是由配方法推導出的萬能公式，適用於任何一元二次方程式！

求根公式（超重要！請背起來）

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$（讀 Delta），告訴你「有幾個答案」：

• $\Delta > 0$ → 兩個相異實數解
• $\Delta = 0$ → 兩個相等實數解（重根）
• $\Delta < 0$ → 無實數解

📌 求解 $2x^2 - 4x + 1 = 0$

① 辨識係數：

$a =$ $b =$ $c =$

$\Delta = b^2 - 4ac =$

算出 $\Delta$ 後選擇判斷：

② 代入求根公式，求解：

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{8}}{4}$ 化簡後 $x =$ 或 $x =$

⚡任務 4 — 方法配對大挑戰！

T4

方程式與最適解法配對

🔹 因式分解法：係數好分解、能找到整數根
🔹 配方法：$a=1$、$b$ 是偶數時特別方便
🔹 公式法：任何情況都能用，係數複雜首選

點左欄方程式，再點右欄方法，完成配對 👇

$x^2 - 9 = 0$

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

因式分解法

配方法

公式法

🌍任務 5 — 生活應用題解題排序

T5

解題步驟排序（點擊依序排列）

📖 題目：一長方形長比寬多 4 公尺，面積 12 平方公尺，求寬。
把下方步驟卡片按正確順序排到框裡！

點擊卡片加入排序：

③ 解方程式：$w=2$ 或 $w=-6$（捨去負值）

① 設寬為 $w$，長為 $w+4$

④ 答：寬為 2 公尺，長為 6 公尺

② 列方程式：$w(w+4)=12$，即 $w^2+4w-12=0$

👇 我的排列順序：

（點擊上方卡片加入）

📚重點整理

📌 定義：$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），一個未知數，最高次方為 2

🔧 因式分解法：$A \cdot B=0 \Rightarrow A=0$ 或 $B=0$，適合整數係數可分解的題型

🔧 配方法：$(x+\tfrac{b}{2})^2 = \tfrac{b^2}{4}-c$，再開根號，$a=1$ 且 $b$ 為偶數時最快

🔧 公式法：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，萬用

🎲 判別式 $\Delta=b^2-4ac$：$\Delta>0$ 兩解；$\Delta=0$ 重根；$\Delta<0$ 無實數解

✍️

我的一句話總結 / 學習收穫